Prawdopodobieństwo na maturze — drzewko, tabela czy reguła mnożenia
7 min czytania · aktualizacja
W zadaniach z prawdopodobieństwa na maturze podstawowej rachunek jest banalny — ułamek dwóch liczb. Punkty przepadają krok wcześniej, przy zliczaniu zdarzeń: złym modelem da się „poprawnie policzyć" złą odpowiedź. Na poziomie podstawowym wystarczą trzy modele. Ten poradnik pokazuje, po czym rozpoznać właściwy w dziesięć sekund.
Model 1: tabela — dwa rzuty kostką lub monetą
Gdy doświadczenie ma dwa etapy o tych samych, równo prawdopodobnych wynikach (dwie kostki, dwie monety, dwa rzuty tą samą kostką), rysuj tabelę. Dla dwóch kostek: 6 wierszy × 6 kolumn = 36 zdarzeń elementarnych i to jest cały mianownik klasycznej definicji P(A) = |A|/|Ω|.
Przykład: prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi 8. Zaznaczasz w tabeli pary (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — pięć zdarzeń, więc P(A) = 5/36.
Kluczowa zasada: (2,6) i (6,2) to różne zdarzenia, bo kostki rozróżniamy (pierwszy rzut, drugi rzut). Właśnie dlatego „ósemka" nie ma trzech możliwości, tylko pięć — a to najczęstszy błąd całego działu.
Model 2: reguła mnożenia — kody, liczby, ustawienia
Gdy zadanie pyta „ile jest liczb / kodów / sposobów", a etapy wyboru są niezależne, mnożysz liczby możliwości na kolejnych pozycjach. Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
- Setki: 9 możliwości (bez zera).
- Dziesiątki: 9 (dowolna cyfra poza użytą, zero już wolno).
- Jedności: 8.
Razem 9 · 9 · 8 = 648. Ten sam mechanizm zliczy |Ω| i |A| w zadaniach typu „losujemy liczbę trzycyfrową — jakie jest prawdopodobieństwo, że…". Wypisuj pozycje jako kratki i podpisuj liczbę możliwości pod każdą — zapis, który klucz punktuje jako metodę, nawet gdy pomylisz się w mnożeniu.
Model 3: drzewko — losowanie etapami, zwłaszcza bez zwracania
Gdy losujesz kolejno, a szanse w drugim etapie zależą od pierwszego (losowanie bez zwracania, kule w urnie, sięganie po dwa cukierki), rysuj drzewko. Z urny z 5 kulami czerwonymi i 3 zielonymi losujemy bez zwracania dwie kule. Prawdopodobieństwo dwóch czerwonych:
- pierwszy etap: P(czerwona) = 5/8,
- drugi etap: w urnie zostało 7 kul, w tym 4 czerwone, więc P = 4/7,
- wzdłuż gałęzi mnożysz: 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Dwie reguły drzewka: wzdłuż gałęzi mnożysz, między gałęziami dodajesz (np. „dokładnie jedna czerwona" = gałąź CZ + gałąź ZC), a prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła zawsze sumują się do 1 — to darmowy test, czy dobrze zmniejszyłeś mianownik po pierwszym losowaniu.
Jak wybrać model w dziesięć sekund
| Sygnał w treści zadania | Model |
|---|---|
| dwie kostki, dwie monety, dwa rzuty | tabela 36 (lub 4) zdarzeń |
| „ile liczb/kodów…", cyfry, miejsca, kolejność | reguła mnożenia |
| „losujemy kolejno", „bez zwracania", urna | drzewko |
| „co najmniej jedno…" | zdarzenie przeciwne: P(A) = 1 − P(A′) |
Ostatni wiersz to nie osobny model, ale największy skrót w dziale: „co najmniej raz szóstka w dwóch rzutach" liczysz jako 1 − P(ani razu) = 1 − 25/36 = 11/36, zamiast wypisywać jedenaście zdarzeń.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Dlaczego (2,3) i (3,2) to różne zdarzenia elementarne?
Kiedy opłaca się liczyć zdarzenie przeciwne?
Czy w drzewku mianownik zawsze się zmniejsza?
Czy na maturze podstawowej trzeba znać wzory kombinatoryczne?
Prawdopodobieństwo to szybkie 1–2 punkty z listy pewniaków — a jeśli mylisz się w rachunkach na ułamkach, przejrzyj najczęstsze błędy rachunkowe.
Źródło: własności prawdopodobieństwa i wzory kombinatoryczne — broszura „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023), sekcje 13–14.