Kombinatoryka na maturze podstawowej - reguła mnożenia krok po kroku

Kombinatoryka na maturze podstawowej to liczenie, na ile sposobów coś można zrobić: ułożyć liczbę, wybrać osoby, ustawić kolejkę. Prawie każde takie zadanie rozwiązuje jedna zasada - reguła mnożenia - wsparta pytaniem, czy kolejność ma znaczenie. Zanim sięgniesz po wzór, rozpisz zadanie jako ciąg decyzji i policz, ile masz możliwości w każdej z nich.

Reguła mnożenia i reguła dodawania

Reguła mnożenia: jeżeli wybór składa się z kilku kolejnych decyzji, a w każdej masz określoną liczbę możliwości, to liczba wszystkich wyborów jest iloczynem tych liczb. Zestaw: 3 bluzy i 4 pary spodni daje 3 · 4 = 12 strojów.

Reguła dodawania: jeżeli zadanie rozpada się na rozłączne przypadki (albo jedno, albo drugie), liczby z poszczególnych przypadków dodajesz. Używasz jej, gdy jedna z pozycji ma warunek, który zmienia liczbę możliwości dla innych.

Liczby z cyframi - pięć wzorcowych zadań

Cyfr jest 10 (od 0 do 9), ale liczba nie może zaczynać się od zera. To jedno zdanie decyduje o połowie zadań z tego działu.

Skąd się biorą te liczby:

• Różne cyfry, czterocyfrowe: pierwsza cyfra - 9 możliwości (bez zera). Druga - też 9, bo wraca zero, a odpada cyfra już użyta. Trzecia ma 8 możliwości, czwarta 7.
• Parzyste: ostatnia cyfra musi być parzysta, czyli 0, 2, 4, 6 lub 8 - 5 możliwości. Pozostałe pozycje jak w zwykłej liczbie czterocyfrowej.
• Podzielne przez 5, różne cyfry: tu potrzebna jest reguła dodawania, bo ostatnia cyfra (0 albo 5) zmienia sytuację pierwszej.
  • kończące się na 0: pierwsza cyfra 9 możliwości, środkowa 8 → 72,
  • kończące się na 5: pierwsza cyfra 8 możliwości (nie 0 i nie 5), środkowa 8 → 64,
  • razem 72 + 64 = 136.

Zasada praktyczna: zaczynaj od pozycji z warunkiem (pierwsza cyfra, ostatnia cyfra parzysta). Kto liczy od lewej bez zastanowienia, zużywa możliwości, które potem okazują się potrzebne.

Czy kolejność ma znaczenie?

To najważniejsze pytanie po regule mnożenia.

• Kolejność ma znaczenie - ustawienie w kolejce, przydział funkcji (przewodniczący i zastępca), kod do zamka. Liczysz zwykłą regułą mnożenia. Ustawień 5 osób w kolejce jest 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120.
• Kolejność nie ma znaczenia - wybór dwuosobowej delegacji, para do zadania, uścisk dłoni. Liczysz regułą mnożenia, a potem dzielisz przez liczbę uporządkowań tej samej grupy. Dwie osoby z sześciu: 6 · 5 = 30 uporządkowanych par, ale każda para policzona jest dwa razy, więc 30 / 2 = 15.

Klasyczne zadanie z uściskami dłoni: na spotkaniu jest 8 osób i każda wita się z każdą jeden raz. Każda osoba ściska 7 dłoni, co daje 8 · 7 = 56, ale każde powitanie liczysz wtedy dwa razy, więc uścisków jest 28.

Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

W zadaniach z prawdopodobieństwa kombinatoryka liczy zdarzenia: wszystkie możliwe wyniki i wyniki sprzyjające. Rzut dwiema kostkami daje 6 · 6 = 36 wyników. Suma oczek równa 7 wypada w 6 z nich (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), więc prawdopodobieństwo wynosi 6/36 = 1/6. Para (1, 6) i para (6, 1) to dwa różne wyniki, bo kostki są rozróżnialne - tę samą logikę kolejności stosujesz tu, co przy liczbach.

Kiedy zadanie ma kilka etapów, rozrysowanie wyników bywa pewniejsze od rachunku - jak wybrać między drzewkiem a tabelą, pokazuje poradnik drzewko czy tabela.

Pułapki, za które przepadają punkty

• Zero na początku liczby. Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, nie 10.
• Powtórzenia cyfr. Sprawdź, czy polecenie mówi „różne cyfry”. Bez tego zastrzeżenia cyfry mogą się powtarzać.
• Liczenie par dwa razy. Gdy kolejność nie ma znaczenia, podziel przez liczbę ustawień tej samej grupy.
• Brak rozbicia na przypadki, gdy jedna pozycja zmienia możliwości innej - jak przy liczbach podzielnych przez 5 o różnych cyfrach.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo to stały punkt arkusza podstawowego - razem z innymi tematami, które dają pewne punkty, opisuje je poradnik pewniaki na maturze podstawowej. Jak zapisać rozwiązanie zadania otwartego, żeby nie stracić punktu za brak uzasadnienia, wyjaśnia tekst jak zapisywać rozwiązania.