Średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe na maturze

Statystyka na maturze podstawowej to cztery miary: średnia arytmetyczna, mediana, dominanta i odchylenie standardowe, czasem także średnia ważona. Rachunki są proste, a punkty przepadają w dwóch miejscach: gdy dane nie zostaną uporządkowane przed szukaniem mediany i gdy dane z tabeli liczebności zostaną potraktowane jak zwykła lista liczb. Ten poradnik pokazuje, jak tego uniknąć, na jednym zestawie danych.

Cztery miary w jednej tabeli

Wzory na średnią, średnią ważoną, medianę, wariancję i odchylenie standardowe są w karcie wzorów CKE. Karta nie podpowiada jednak, kiedy dane trzeba najpierw posortować - to trzeba wiedzieć.

Jeden zestaw danych, wszystkie miary

Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 10 (sześć liczb, już uporządkowanych).

1. Średnia: suma to 30, liczb jest 6, więc średnia = 30 / 6 = 5.
2. Mediana: liczba danych jest parzysta, więc bierzesz dwie środkowe - trzecią i czwartą: (3 + 5) / 2 = 4.
3. Dominanta: najczęściej występuje 3 (dwa razy), więc dominanta = 3.
4. Odchylenie standardowe:
   • odchylenia od średniej: −3, −2, −2, 0, 2, 5,
   • ich kwadraty: 9, 4, 4, 0, 4, 25 - suma 46,
   • wariancja = 46 / 6 = 23/3 ≈ 7,67,
   • odchylenie standardowe = √(23/3) ≈ 2,77.

Zwróć uwagę, że średnia (5), mediana (4) i dominanta (3) są tu różne. To normalne: jedna duża wartość (10) podnosi średnią, ale prawie nie wpływa na medianę. Właśnie dlatego zarobki w kraju podaje się często medianą - kilka bardzo wysokich pensji zawyżyłoby średnią.

Dane z tabeli liczebności - najczęstsza pułapka

W wielu zadaniach dane podane są w tabeli: wartość i liczba osób, które ją wybrały. Na przykład ankieta „ile masz rodzeństwa” w klasie 20 osób:

• Średnia: każdą wartość mnożysz przez jej liczebność: (0 · 4 + 1 · 9 + 2 · 5 + 3 · 2) / 20 = 25 / 20 = 1,25. Dzielisz przez liczbę uczniów (20), a nie przez liczbę kolumn (4).
• Mediana: uczniów jest 20, więc środkowe są 10. i 11. wynik. Pierwsze cztery osoby mają 0, osoby od 5. do 13. mają 1 - oba środkowe wyniki to 1, więc mediana = 1.
• Dominanta: najwięcej uczniów (9) ma jedno rodzeństwo, więc dominanta = 1. Dominantą jest wartość (1), a nie liczebność (9) - to klasyczny dystraktor w zadaniach zamkniętych.

Średnia ważona i zadania „odwrotne”

Średnia ważona to średnia, w której niektóre dane liczą się bardziej. Uczeń ma ocenę 5 z wagą 3, ocenę 4 z wagą 2 i ocenę 3 z wagą 1: (5 · 3 + 4 · 2 + 3 · 1) / (3 + 2 + 1) = 26 / 6 ≈ 4,33. Dzielisz przez sumę wag, a nie przez liczbę ocen.

Zadania odwrotne podają średnią i każą znaleźć brakującą liczbę. Klucz: pracuj na sumie, nie na średniej. Średnia czterech liczb wynosi 6, a po dopisaniu piątej liczby x średnia rośnie do 7. Suma czterech liczb to 4 · 6 = 24, suma pięciu to 5 · 7 = 35, więc x = 35 − 24 = 11.

Ten sam trik działa przy pytaniu, jak zmieni się średnia, gdy do każdej liczby dodasz stałą: średnia i mediana przesuwają się o tę samą stałą, a odchylenie standardowe się nie zmienia, bo rozrzut danych pozostaje ten sam.

Pułapki, za które przepadają punkty

• Mediana z nieuporządkowanych danych. Najpierw sortujesz, potem szukasz środka - zawsze.
• Parzysta liczba danych. Mediana to wtedy średnia dwóch środkowych liczb i nie musi być jedną z danych.
• Dzielenie przez liczbę kolumn tabeli zamiast przez liczbę obserwacji.
• Dominanta pomylona z liczebnością - odpowiedzią jest wartość, która występuje najczęściej, a nie to, ile razy wystąpiła.
• Wariancja zamiast odchylenia. Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji; w zadaniu zamkniętym obie liczby bywają wśród odpowiedzi.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Statystyka często łączy się w arkuszu z rachunkiem prawdopodobieństwa - schemat wyboru między drzewkiem a tabelą jest w poradniku drzewko czy tabela. Zadania z procentami, które też opierają się na danych z tabel, omawia tekst procenty, lokaty i VAT.

Źródło: wzory statystyczne za broszurą „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023).