Potęgi i pierwiastki na maturze podstawowej - prawa i schematy

Zadania z potęg i pierwiastków na maturze podstawowej rozwiązuje się jednym ruchem: sprowadź wszystko do tej samej podstawy, a potem dodawaj lub odejmuj wykładniki. Liczby 4, 8, 16 i 32 to potęgi dwójki, a 9, 27 i 81 - trójki. Pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym, więc ten sam schemat działa też dla wyrażeń z pierwiastkami.

Prawa działań na potęgach

Prawa dotyczą mnożenia i dzielenia. Dla sumy nie ma żadnego prawa: 2³ + 2⁴ to 8 + 16 = 24, a nie 2⁷. Jeżeli w zadaniu jest suma potęg, wyłącz wspólny czynnik przed nawias: 2³ + 2⁴ = 2³ · (1 + 2) = 3 · 2³.

Schemat: wspólna podstawa

Oblicz 2⁵ · 4³ : 8².

1. Zamień na potęgi dwójki: 4 = 2², 8 = 2³.
2. Przepisz: 2⁵ · (2²)³ : (2³)² = 2⁵ · 2⁶ : 2⁶.
3. Policz wykładniki: 5 + 6 − 6 = 5.
4. Wynik: 2⁵ = 32.

Ten sam schemat dla podstawy 3: 9⁴ : 27² = 3⁸ : 3⁶ = 3² = 9.

Wykładnik ujemny i ułamkowy

Ujemny wykładnik sam nie zmienia znaku - oznacza odwrotność:

• 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8,
• (1/3)⁻² = 3² = 9 - odwrócenie ułamka zamienia znak wykładnika,
• (−2)⁻³ = 1 / (−2)³ = −1/8, ale (−2)⁻² = 1 / (−2)² = 1/4 - przy ujemnej podstawie znak zależy od parzystości wykładnika, tak samo jak przy wykładnikach dodatnich.

Wykładnik ułamkowy czytaj tak: mianownik to stopień pierwiastka, licznik - potęga.

• 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9,
• 16^(−1/2) = 1 / √16 = 1/4,
• 32^(3/5) = (⁵√32)³ = 2³ = 8.

Najpierw pierwiastek, potem potęga - liczby zostają wtedy małe i rachunek mieści się w głowie.

Działania na pierwiastkach

Wyłączanie czynnika spod pierwiastka. Rozłóż liczbę na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem: √12 = √(4 · 3) = 2√3, √50 = 5√2, √8 = 2√2.

Dodawanie pierwiastków jest możliwe tylko dla tych samych pierwiastków, jak dodawanie wyrazów podobnych: √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2. Natomiast √2 + √3 nie da się uprościć, a już na pewno nie jest równe √5.

Usuwanie niewymierności z mianownika.

• Pojedynczy pierwiastek: pomnóż licznik i mianownik przez ten pierwiastek. 6/√3 = 6√3 / 3 = 2√3.
• Suma lub różnica: pomnóż przez wyrażenie sprzężone i skorzystaj ze wzoru (a − b)(a + b) = a² − b². 1 / (√5 − 2) = (√5 + 2) / (5 − 4) = √5 + 2.

Pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna: √(a²) = |a|. Stąd √((1 − √2)²) = |1 − √2| = √2 − 1, bo 1 − √2 jest liczbą ujemną. To jedno z ulubionych zadań zamkniętych CKE - odpowiedź „1 − √2” jest tam zawsze jako dystraktor.

Notacja wykładnicza

Liczby bardzo duże i bardzo małe zapisuje się jako a · 10ⁿ, gdzie 1 ≤ a < 10. Na przykład 0,00032 = 3,2 · 10⁻⁴, a 45 000 = 4,5 · 10⁴. Przy mnożeniu takich liczb mnożysz osobno części a i osobno potęgi dziesiątki: (2 · 10³) · (4 · 10⁵) = 8 · 10⁸.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Potęgi z tą samą podstawą to też klucz do logarytmów - logarytm to po prostu pytanie o wykładnik. Rachunkowe pomyłki, które najczęściej kosztują punkty w tym dziale, zebraliśmy w tekście o najczęstszych błędach na maturze z matematyki.

Źródło: prawa działań na potęgach i pierwiastkach za broszurą „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023).